周囲の空気を想像してみてください。部屋内のあらゆる点で、空気は特定の速度——移動する方向と速さ——を持っています。これが ベクトル場です。スカラー場が各点での温度だけを示すのに対し、ベクトル場は風や海流、重力のような動的な物理現象を表す矢印で空間を埋め尽くします。
正式な定義
これらの場を数学的に分析するため、以下の基本的な定義を使います：
定義1（2次元ベクトル場）： $D$ を $\mathbb{R}^2$ の集合とする。$\mathbb{R}^2$ 上のベクトル場とは、$D$ 内の各点 $(x, y)$ に2次元ベクトルを割り当てる関数 $\mathbf{F}$ であり、
$$\mathbf{F}(x, y) = P(x, y)\mathbf{i} + Q(x, y)\mathbf{j} = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle$$
ここで $P$ と $Q$ は スカラー場 （2変数の関数）。
定義2（3次元ベクトル場）： $\mathbb{R}^3$ の部分集合 $E$ に対して、場は以下のように定義されます： $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
定義2（3次元ベクトル場）： $\mathbb{R}^3$ の部分集合 $E$ に対して、場は以下のように定義されます： $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
物理的解釈
- 速度場： 流体の流れや風のパターンを表します。たとえば、図1はサンフランシスコ湾の風の様子を示し、図13は収束するパイプを通る流体のモデルを示しています。
- 力場：ニュートンの万有引力の法則 は、大きさ $|\mathbf{F}| = \frac{mMG}{r^2}$ の場を定義します。ベクトル形式では：$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = -\frac{mMG}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$ です。注記：物理学者は $\mathbf{x}$ の代わりに $\mathbf{r}$ をよく使います。
- 電場： $\mathbf{E}(\mathbf{x}) = \frac{\varepsilon Q}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$ として定義され、単位電荷あたりの力を表します。
勾配場の幾何学
$f$ がスカラー関数である場合、その勾配 $\nabla f$ は特殊な種類のベクトル場を作ります。3次元では、以下のように表されます：
$$\nabla f(x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$☸ 幾何学的洞察
図15に示すように、勾配ベクトルは常に 垂直 元の関数 $f$ の等高線（または等高面）に対して常に垂直であり、増加率が最大になる方向を指します。
例1：回転場
$\mathbf{F}(x, y) = -y\mathbf{i} + x\mathbf{j}$ を考えます。$(1, 0)$ では $\langle 0, 1 \rangle$、$(0, 1)$ では $\langle -1, 0 \rangle$ になります。これらをプロットすると、原点の周りに円形の流れがあることがわかります——これは渦や機械的回転をモデル化するための数学的基盤です。